数学基础
定义量与量之间的关系
函数在
显函数
自变量和因变量有明确的对应关系.
隐函数
没有给出自变量和因变量的对应关系.
分段函数
反函数
奇偶性:
- 偶函数: 关于 y 轴对称.
- 奇函数: 关于原点对称.
周期性:
单调性:
- 单调递增
- 单调递减
函数的连续性
Section titled “函数的连续性”函数
函数
- 函数在该点处有定义
- 函数在该点处极限
存在 - 极限值等于函数值
函数的间断点
Section titled “函数的间断点”函数
三种情况的间断点：
- 函数
在点 处没有定义。 - 极限
不存在 - 满足前面两点，但是
当
条约间断点:
可去间断点：
如果函数存在极限
则称此极限为函数
导数的数学表示
复合函数求导
函数
记作
如果函数的增量，与这两点距离的比例存在，则称此为在
如果函数
符号表示:
当 无限增大时; 当 无限增大时; 当 无限减小时; 当 从 的左右两侧无限接近于 时; 当 从 的右侧无限接近于 时; 当 从 的左侧无限接近于 时;
按照一定次数排列的一列数
对于数列
示例
函数在
的邻域内有定义 或
左右极限 : 函数在左半邻域和右半邻域都有定义
由图像可观察到
无穷小: 以零为极限(不是一个数, 是相对于变换过程的)
, 则 是 时的无穷小 , 则 是 时的无穷小
基本性质
- 有限个无穷小的代数和仍是无穷小
- 有限个无穷小的积仍是无穷小
- 有界变量与无穷小的积仍是无穷小
- 无限个无穷小之和不一定是无穷小
- 无穷小的商不一定是无穷小
极限与无穷小的关系:
无穷大与无穷小的关系: 在自变量的同一变换过程中,如果
无穷小的比较(
: 是比 高阶无穷小 : 是比 低阶无穷小 : 是比 同阶无穷小
- 微分: 研究瞬时变化
- 积分: 研究连续累积
微分(导数)
Section titled “微分(导数)”当自变量发生极小变化时，函数如何响应？
几何含义
- 导数 = 切线斜率
- 导数大
变化快 - 导数为 0
可能极值点
无数个“极小量”加起来，总共是多少？
微积分基本定理
Section titled “微积分基本定理”第一基本定理: 累积的变化率 = 原函数
第二基本定理: 面积不用加无穷多项，直接算端点差
积分中值定理
设函数
连续函数在区间内，至少有一个点的函数值 = 平均值
微分中值定理(拉格朗日中值定理)
设函数
总能找到一个点，其切线斜率等于整体平均斜率
使用简单多项式代替复杂函数
在值
在