数学基础

函数

函数定义

定义量与量之间的关系

其中自变量是, 因变量是.

函数在处的取得的函数值 .

函数分类

显函数

自变量和因变量有明确的对应关系.

隐函数

没有给出自变量和因变量的对应关系.

分段函数

反函数

函数的特性

奇偶性:

• 偶函数: 关于y轴对称.
• 奇函数: 关于原点对称.

周期性:

单调性:

• 单调递增
• 单调递减

极限

符号表示:

• 当无限增大时;
• 当无限增大时;
• 当无限减小时;
• 当从的左右两侧无限接近于时;
• 当从的右侧无限接近于时;
• 当从的左侧无限接近于时;

数列

按照一定次数排列的一列数

, 其中叫做通项.

对于数列如果无限增大时,其通项无限接近于常数, 则称该数列以为极限或数列收敛于,否则称数列发散.

示例

极限定义

函数在的邻域内有定义或

左右极限: 函数在左半邻域和右半邻域都有定义

的充要条件是

图像

由图像可观察到

无穷

无穷小: 以零为极限(不是一个数, 是相对于变换过程的)

• , 则是时的无穷小
• , 则是时的无穷小

基本性质

1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小
2. 有限个无穷小的积仍是无穷小
3. 有界变量与无穷小的积仍是无穷小
4. 无限个无穷小之和不一定是无穷小
5. 无穷小的商不一定是无穷小

极限与无穷小的关系: 的充要条件 其中是时的无穷小

无穷大与无穷小的关系: 在自变量的同一变换过程中,如果为无穷大,那么为无穷小

无穷小的比较(和都是时的无穷小):

• : 是比高阶无穷小
• : 是比低阶无穷小
• : 是比同阶无穷小